摘要

隨著科技的進步，現今的示波器除了能觀察信號的時域波形之外，還能經由內建的快速傅立葉轉換（Fast Fourier Transform；FFT）功能觀察信號的頻譜。本文將介紹如何在示波器上設定快速傅立葉轉換功能，並將此功能有效地應用於開關轉換器的設計與偵錯上。

一. 前言

現今在開關轉換器的設計、評估及除錯的過程中，若需使用到頻域的量測，通常都會使用專用的儀器，如使用網路分析儀（Network Analyzer）量測轉換器之環路增益（loop gain）和使用EMI接收機（EMI Receiver）量測轉換器是否符合電磁干擾的相關法規等。

近年來隨著示波器功能的提升，快速傅立葉轉換（Fast Fourier Transform；FFT）已是示波器的標準配備，使得電源工程師可以在一台示波器上同時觀察訊號的時域波形及頻域成份。藉由頻域上分析電路的電壓和電流波形，掌握突波（spike）的頻率分佈，可使電源工程師在解決EMI問題時，能針對特定頻率去做改善。除此之外，透過示波器之FFT功能來觀測電解電容的電流頻譜，分離不同頻率下的電容電流大小，也有助於預估電容之壽命。

本文將介紹何謂FFT及如何在示波器上設定FFT功能，並將以標準波形作操作示範。最後，將示範如何將FFT功能應用於電源供應器的設計與偵錯上。本文中之示範操作皆使用Rohde & Schwarz公司的RTE 1054示波器，並搭配其所附之軟體RTO Scan。

二. FFT介紹與示波器的功能限制

眾所皆知，傅立葉分析可以對時域信號做頻率拆解，其中離散的傅立葉分析可依據時域信號是否具有週期性，而分成離散時間傅立葉轉換（Discrete Time Fourier Transform；DTFT）和離散傅立葉轉換（Discrete Fourier Transform；DFT），由於DTFT轉換出來的頻域函數是連續頻譜，這代表非週期性的時域信號需要由無窮多組不同頻率的弦波組成，而DFT轉換出來的頻域函數則為離散頻譜，可視為對DTFT出來的頻譜作等間隔取樣。在實際應用上，微處理器的記憶體有限，只能處理有限的資料量，所以微處理器在進行傅立葉轉換時只能採用DFT的方式。而FFT則是能夠有效降低DFT運算複雜度和運算時間的一種演算法，至今被廣泛的使用在各科學領域及示波器上。

本章節會介紹在示波器設定上會用到的名詞、對應關係和設定上的限制，並以標準波形（正弦波與方波）使為操作範例。

1. 示波器的FFT功能與限制

圖1為RTE 1054示波器FFT設定的使用者介面，紅框內的參數為一般示波器在使用FFT功能時需要設定的參數。其中，中心頻率（Center frequency）、頻率跨距（Frequency span）、起始頻率（Start frequency）和終止頻率（Stop frequency）之間有連動關係，因此只需設定中心頻率和頻率跨距。為兼顧FFT頻譜的解析度和振幅量測，將Window type設定為Hamming，而其餘參數設定則將一一說明其功能。

圖1、RTE 1054示波器FFT設定介面

A. 解析頻寬（Resolution Bandwidth；Resolution BW；RBW）

解析頻寬為FFT頻譜之最小頻率間隔（∆f），及決定FFT頻譜的解析度，類比於時域波形中的取樣週期（sampling time；∆t）；解析頻寬越窄表示頻譜的解析度越高。而解析頻寬與示波器時域波形的紀錄長度，或稱「擷取時間」（capture time）為倒數關係，所以調整示波器的擷取時間會改變解析頻寬。

圖2、FFT解析頻寬示意圖

B. 擷取時間（Capture time）

如上所述，擷取時間為示波器時域波形的紀錄長度，即示波器螢幕上顯示波形的時間總和，其值為時間檔位（Time/div）乘上示波器橫軸格數，且與解析頻寬為倒數關係。

圖3、示波器擷取時間示意圖

C. 中心頻率（Center frequency；f_Center）、起始頻率（Start frequency；f_Start）及終止頻率（Stop frequency；f_Stop）

中心頻率為FFT頻譜中橫軸所顯示的中間頻率值；中心頻率、起始頻率及終止頻率關係可參考圖4及式（1）。終止頻率的設定需考慮到稍後介紹的取樣率，簡言之，需小於取樣率的一半。

（1）

D. 頻率跨距（Frequency span）

頻率跨距為FFT頻譜顯示的範圍，也就是頻譜中橫軸所顯示之終止頻率（f_Stop）和起始頻率（f_Start）的差值，如圖4所示。

圖4、FFT頻率跨距示意圖

E. 取樣率（Sampling rate；f_Sampling）

取樣率和示波器之時域波形解析度有關，如圖5所示。取樣率為取樣週期（∆t）的倒數；取樣率越高，取樣週期即越小，示波器上所呈現的波形解析度就越高。在使用示波器FFT功能時，必須注意奈奎斯特取樣定理（Nyquist Sampling Theorem），即取樣率需大於兩倍的終止頻率。

圖5、示波器取樣率示意圖

了解上述名詞之間的對應關係後，可以發現如果想要獲得一個解析度較高的FFT頻譜，必須將示波器時間檔位（Time/div）調大，以增加螢幕擷取時間，取得較窄的解析頻寬。然而每一台示波器皆有最大取樣點數（sampling point）之限制，例如本文中所使用的RTE 1054示波器之最大取樣點數為40 MSa。

擷取時間的增加會造成取樣點數增加，但若已達示波器之最大取樣點數，由取樣點數=擷取時間╳取樣率的關係式，得知取樣率則被迫降低。而當取樣率被降低時，因為需符合Nyquist Sampling Theorem，可能會影響到FFT頻譜之終止頻率，進而影響到FFT頻譜的中心頻率和頻率跨距的大小，使用上須特別注意這些設定。

舉例來說，若要在一個最大取樣點數為1 MSa的示波器上觀察解析頻寬為1 kHz的FFT頻譜，由式（2）至（4）可計算出示波器的擷取時間至少要1 ms，取樣率只能到1 GSa/s，而FFT頻譜上的終止頻率最高就只能到500 MHz。如果想要觀察500 MHz以上的頻率，就只能加大解析頻寬或是使用擁有更大的最大取樣點數的示波器。

（2）

（3）

（4）

2. 標準波形的FTT範例

標準波形FFT實驗皆使用Tektronix AFG3021B波形產生器產生頻率100 kHz、峰至峰值400 mV之正弦波和方波作觀察。從正弦波的FFT頻譜，可以釐清示波器縱軸單位是採用波形電壓的峰值、平均值或方均根值做計算；而方波的FFT頻譜則可用來觀察不同的上升、下降時間對波形在頻域的影響。

A. 正弦波

使用示波器觀察正弦波FFT頻譜，假設頻譜之解析頻寬為5 kHz，頻譜範圍設定在10 kHz到30 MHz。首先，根據解析頻寬可以推算出示波器的擷取時間為200 µs，因此示波器的時間檔位至少要20 µs/div。由頻譜範圍可以觀察到頻率跨距約為30 MHz，中心頻率約為15 MHz，為滿足Nyquist Sampling Theorem，取樣率至少要60 MSa/s。圖6為正弦波之FFT頻譜，從圖上可以觀察到主要頻率成份確實是在100 kHz，其幅值為

（5）

由上述計算可得知示波器頻譜上所示之縱軸幅值是採用信號之方均根值做計算。

圖6、正弦波頻譜

B. 方波

固定示波器FFT設定，由波形產生器產生一工作週期50 %的方波，並將方波之上升時間（tr）及下降時間（tf）設定至波形產生器之最小值（18ns）。圖7為此方波之FFT頻譜，可以觀察到方波之頻譜包絡（spectral envelope）線在中低頻時，以-20 dB/dec的斜率衰減；當頻率大於轉折頻率（f_c）時，則會以-40B/dec的斜率降低。其轉折頻率之計算公式為

（6）

將方波之上升、下降時間代入上述公式，可以計算出上升、下降時間為18 ns的方波轉折頻率（f_c1）為17.7 MHz。

圖7、上升及下降時間為18 ns之方波頻譜

如果將上升及下降時間增加至100 ns，透過轉折頻率的公式可以計算出新的轉折頻率（f_c2）降低至3.18 MHz，圖8為上升及下降時間為100 ns之方波頻譜。

圖8、上升及下降時間為100 ns之方波頻譜

比對圖7和圖8兩張方波FFT頻譜，可以發現如果方波的上升、下降時間越長，轉折頻率會越低，高頻成份就會衰減越多，這也從頻域的觀點說明了加大開關轉換器的MOSFET閘極驅動電阻（gate resistor；R_g）可使EMI濾波器比較容易設計，因MOSFET的驅動信號的斜率變緩，以上圖來看，轉折頻率因而降低，能讓電路上的高頻雜訊被衰減得更多。

三. 範例

本章以交流轉直流返馳式轉換器搭配立錡科技之控制晶片RT7736為範例，其輸入電壓為90 - 265 V_ac、輸出電壓為12 V、輸出功率為24 W的，針對轉換器之MOSFET電壓、輸出二極體電壓、輸出電壓漣波、輸出電容電流及輸入電容電流波形做FFT頻譜分析，並從頻率域的角度觀察各波形特性。返馳式轉換器常會在變壓器一次側和輸出二極體分別並聯RCD電壓箝位電路（voltage clamp circuit）和RC緩振電路（snubber circuit），如圖9所示。由於傳導電磁干擾（conducted EMI）法規所規範之最高頻率為30 MHz，因此將示波器的FFT頻譜範圍設定為10 kHz到30 MHz，取樣率為100 MSa/s，解析頻寬為1 kHz。

圖9、返馳式轉換器示意圖

1. MOSFET之電壓

由於RT7736內建智慧抖頻（SmartJitter™）功能，開關頻率有±6 %的變動範圍，使其頻率成份擴散成柱狀，而非在單一頻率上。圖10為滿載時MOSFET電壓波形的FFT頻譜，從65 kHz附近開始出現開關頻率及其諧波的低頻成份。在滿載時，變壓器的激磁電感（magnetizing inductance）工作在連續導通模式（continuous conduction mode；CCM），MOSFET電壓可近似為一方波，因此在中低頻的地方，幅值以-20 dB/dec的斜率衰減。在5 MHz附近，幅值出現抬升，則是因為在MOSFET關閉瞬間，漏電感電流在MOSFET上產生之高頻電壓突尖（voltage spike）。

圖10、滿載時MOSFET電壓波形之FFT頻譜

當負載減輕時，開關頻率逐漸降低，激磁電感的操作模式從連續導通模式轉成不連續導通模式（discontinuous conduction mode；DCM），由圖11可以發現在輸出電流降到0.5 A時，開關頻率只有26 kHz，由於在DCM操作的關係，激磁電感和汲極電容產生的振鈴（ringing）變化亦會反映在MOSFET電壓波形上，因此在頻譜上也能看到在振鈴頻率（f_DCM）附近的幅值也出現抬升。

圖11、輕載時MOSFET電壓波形之FFT頻譜

圖12為輕載時未加RCD電壓箝位電路的MOSFET電壓頻譜，由於移除RCD電壓箝位電路後，漏電感電流在MOSFET關閉瞬間少了一條宣洩的路徑，漏電感電流全部都流進MOSFET的輸出電容（C_oss），因而產生更高的電壓突尖。比對圖11和圖12可以觀察到RCD電壓箝位電路主要作用在電壓突尖的頻率（5 MHz）附近，衰減了10 dB，在中低頻段則無明顯變化。

圖12、輕載時未加RCD電壓箝位電路的MOSFET波形電壓之FFT頻譜

2. 輸出二極體之電壓

通常輸出二極體兩端會並聯一組RC緩振電路，其目的是為了吸收在MOSFET導通瞬間，因輸出二極體的逆向回復電流（reverse recovery current）產生的高頻電壓突尖。在設計緩振電路時，需要先知道電壓突尖的頻率，以往是使用示波器將時域波形展開並用游標功能進行讀值。本文則提供另一種方法：從波形FFT頻譜找出電壓突尖之頻率。圖13為滿載時未加裝RC緩振電路的輸出二極體電壓頻譜，圖中顯示電壓突尖的頻率為21 MHz，由此可以設計對應之RC緩振電路了。

圖13、滿載時未加裝RC緩振電路的輸出二極體電壓波形之FFT頻譜

圖14為加裝RC緩振電路後的輸出二極體電壓頻譜；比對兩張FFT頻譜，可以看到RC緩振電路的抑制效果。由於此時輸出二極體電壓波形和操作在CCM的MOSFET電壓相似，從圖14可以看到在中低頻段時，輸出二極體電壓頻譜一樣是呈現-20 dB/dec的衰減斜率，在高頻時，則是以-40 dB/dec的衰減斜率。

圖14、滿載時加裝RC緩振電路的輸出二極體電壓波形之FFT頻譜

3. 輸入電容之電流

在實際應用上，鋁質電解電容（aluminum electrolytic capacitor）經常被用於輸入電容和輸出電容，其壽命與環境和電氣特性有密切的關係。常見的液態鋁質電解電容壽命估算式為

（7）

其中，L_X為待估算之電容壽命，L_O為廠商提供之保證壽命，K_Temp為周溫修正係數，K_Voltage為電壓修正係數，I_{C_rms}為流進電容之漣波電流（RMS），I_Rated為額定最大容許電流（RMS）。從估算式可以觀察到在預估電解電容的壽命時，需要計算漣波電流（ripple current）的方均根值。

由於電解電容的等效串聯電阻（equivalent series resistor；ESR）會隨著漣波電流的頻率改變，不同頻率下的漣波電流耐受度皆不相同，為了獲得較準確的壽命估算，在計算時不會使用示波器直接量測時域波形的方均根值，而是將電流波形做FFT分析，把不同頻率下的電流成份等效至120 Hz下去作計算，其等效之電容漣波電流為

（8）

圖15和圖16分別為輸入電容電流波形之FFT頻譜與RUBYCON提供之鋁質電解電容漣波電流係數修正表。

（a）

（b）

圖15、滿載時輸入電容電流波形之FFT頻譜   （a）10 Hz - 100 kHz   （b）10 kHz - 30 MHz

圖16、RUBYCON提供之400 V鋁質電解電容漣波電流係數修正表

4. 輸出電容之電流

圖17為滿載時輸出電容電流波形之FFT頻譜，其壽命估算方式與輸入電容相同。比對輸入和輸出電容的電流的頻譜，可以觀察到經過一個交流轉直流的轉換器之後，電容電流的主要成份從低頻的市電頻率轉變成高頻的開關頻率。

（a）

（b）

圖17、滿載時輸出電容電流波形之FFT頻譜   （a）10 Hz - 100 kHz   （b）10 kHz - 30 MHz

四. 對EMI的影響

在上一章介紹了交流轉直流返馳式轉換器的許多元件上電壓或電流波形頻譜，也在頻域上看到MOSFET的RCD電壓箝位電路和輸出二極體的RC緩振電路的功效。本章將探討RCD電壓箝位電路對於MOSFET電壓頻譜上抑制之幅值，在EMI頻譜上是否會有相同的效果。

由於傳導EMI的法規限制，在進行FFT頻譜與EMI頻譜比對前，需先將示波器的設定調整成與EMI接收機相同，因此將FFT頻譜範圍設為150 kHz至30 MHz，解析頻寬為9 kHz，示波器擷取時間為20 ms，取樣率設定在100 MSa/s。圖18及圖19分別為加裝RCD電壓箝位電路前後之MOSFET電壓頻譜比較圖和EMI頻譜比較圖，其量測條件皆為輸入電壓為115 V_ac、輸出電流為2 A，可以很明顯的觀察到緩振電路在FFT頻譜上5 MHz附近衰減約10 dB，此衰減量同樣會呈現在EMI頻譜上。

圖18、加裝RCD電壓箝位電路前後之MOSFET電壓FFT頻譜比較圖

圖19、加裝RCD電壓箝位電路前後之EMI頻譜比較圖

由這個實驗結果可以得知抑制電路上的電壓突尖和電流突尖（current spike）確實能有效降低特定頻率的EMI雜訊。往後若想進行特定頻率的EMI偵錯時，可試著用示波器的FFT功能以快速掌握電路上突波的頻率，而能更有效地解決問題。

五. 結論

本文討論了FFT功能在示波器上的設定及限制，也使用了標準波形進行示波器的操作示範，經由標準波形的實驗釐清了頻譜的座標單位。此外透過返馳式轉換器的量測實例，了解到了電解電容壽命的估算方式和電壓箝位電路及緩振電路在EMI議題上關聯及重要性，同時證實了示波器的FFT功能應用於電源轉換器的設計與偵錯是可行的。

六. 參考文獻

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[2] “R&S^® RTE Digital Oscilloscpe Scope of the art,” Rohde & Schwarz

[3] “Analyze EMI problems with the R&S^® RTO/RTE,” Rohde & Schwarz

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[6] “Life of Aluminum Electrolytic Capacitor,” Rubycon

[7] “Performance of Aluminum Electrolytic Capacitor,” Rubycon

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